САНДАР ТЕОРИЯСЫ — бүтін сандар туралы ілім. Бүтін сан ұғымы және сандарға арифметикалық амалдар қолдану ежелгі кезден-ақ белгілі болған және алғаш дерексіздендірілген (абстракцияланған) математикалық ұғым болды. Бүтін сандар -…, -3, -2, -1, 0, 1,2, 3, … арасында ерекше орын алатын натурал сандар: 1,2, 3,… және бұлардың ерекшелік қасиеттері болды. 1-ден үлкен барлық натурал сандар 2 топқа ажыратылады: 1-топқа екі бөлгіші бар, атап айтқанда, 1-ге және өзі-өзіне бөлінетін сандар жатқызылса, 2-топқа бұдан өзге сандар қалдырылған. 1-топтағы сандар — жай сандар, ал екінші топтағылар — құрама сандар деп аталған. Жай сандардың қасиеттері мен бұлардың өзге сандармен байланысын біздің заманымыздан бұрынғы (б.з.б.) III ғасыр шегінде ежелгі грек математигі Евклид (б.з.б. 330 — 275) зерттеген. Ол жай сандардың шексіз көп екенін дәлелдеген. Жай сандардың арасында айырымы екіге тең болатын жай сандар тізбегі де кездеседі. Бұл сандар тетелес (егіз) жай сандар деп аталған. Осы күнге дейін осындай жай сандар жұбының (тетелес жай сандардың) шектеулі немесе шектеусіз екендігі жайлы кесімді тұжырым айтылмаған.
Евклид жай сандарды көбейту арқылы барлық натурал сандарды тізуге болады деген. Әрбір натурал сан жай сандардың көбейтіндісі ретінде бір ғана тәсілмен өрнектеледі. Сонымен, жай сандар көбейту арқылы ұлғайтылып анықталатын негіз іспеттес болған. Жай сандар жайлы қойылған алғашқы сұрақтар осы сандар натурал сандар қатарында қаншалықты жиі таралған және олар бір-бірінен қаншалықты «қашықтықта» орналасқан деген мәселелер төңірегінде өрбіген. Жай сандардың таралуын зерттеу оларды анықтайтын алгоритмді (ережені) жасауға итермелеген. Мұндай алгоритм ретінде б.з.б. III ғасырда өмір сүрген грек математигі Киреналық Эратосфен (б.з.б. 276 — 194) ашқан тәсіл — Эратосфен елегін айтуға болады.
Евклид өзінің «Негіздер» деген еңбегінде екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін (Евклид алгоритмі) анықтау тәсілін тұжырымдаған. Осы тәсілдің салдары негізінде натурал сандарды жай көбейткіштерге бір мәнді жіктеу теоремасы пайда болған. Әр түрлі теңдеулердің бүтін санды шешімдері жайындағы мәселе де ежелгі дәуірден басталған. Мұндай теңдеулер қатарына ах + bу = с сызықтық теңдеуі де жатады, мұндағы а, b жэне с — бүтін әрі өзара жай сан-дар. Евклид алгоритмі бойынша ах + bу = 1 теңдеуінің шешімі анықталады да осы шешім негізінде бастапқы теңдеудің барлық шешімдері белгілі болады. Бүтін санды басқа теңдеу х2 + у2 = z2 теңдеуі болып табылады (мүның х = 3, у = 4 жэне z = 5 санды шешімдері Пифагордың есімімен байланысты). Мұның барлық бүтін санды шешімдері «Негіздерде» баяндалған: х, у жэне 2 былай анықталған:
x2 = r2-q2, y = 2rq, z=r2 + q2, мұндағы r және q-бүтін сандар. Евклидке ax2 + 1 =у2 теңдеуі де белгілі болған, бұл тендеу кейіннен Пелль тендеуі деп аталған (Джон Пелль (1620 — 1685) ағылшын математигі). Евклид бұл теңдеудің барлық шешім-дерін қалай анықтауға болатынын баяндаған. Евклид заманынан кейінгі кездерде тендеулердің бүтін санды шешімдерін табу мәселесімен ежелгі «грек алгебрасының атасы» Диофант (біздің заманымыздың III ғасыр шамасында) айналысқан. Оның шешкен тендеулері кейіннен диофант теңдеулері деп аталып кеткен.
Сандар жиындарының есептеу амалдарына қатысты қасиеттері
Орта ғасырлардағы сандар теориясының ең үлкен жетістігі француз математигі Пьер Ферманың (1601 — 1665) есімімен байланысты. Ол диофанттық теңдеулер саласында айтарлықтай жаңалық ашты. Ол өз есімімен аталған болжамдар ұсынды. Олар Ферманың үлкен теоремасы және Ферманың кіші теоремасы деп аталған.
XVIII ғасырдың басында бүтін сандар туралы ілімнің жүйелі теориясы жасалды. Бұған көп үлес қосқан швейцар математигі Леонард Эйлер (1707 -1783) болды. XIX ғасырдың орта шенінде сандар теориясының негізі қаланып болған. Бұл кезеңде неміс математигі Карл Гаусстың (1777 -1855) еңбегінің ықпалы зор болды. Ол салыстыру теориясын тұжырымдаған. 1837жылы неміс математигі Петер Дирихле (1805-1859) жай сандардың арифметикалық прогрессиядағы таралу зандылығын ашты. Ол пк + l (п = 0, 1, …), (мұндағы к — прогрессия айырымы, l — бірінші мүше) түріндегі арифметикалық прогрессия тізбегінде жай сандардың шексіз болатынын дәлелдеген. Кезінде Л.Эйлер бүтін санды квадрат түбірлер мен бүтін сандардың логарифмдерінің бір-бірінен принциптік айырмашылығы болатынын байқаған. 1844 жылы француз математигі Жозеф Лиувилль (1809 — 1882) алгебралық сандар және трансценденттік сандар ұғымын енгізген. Кейіннен алгебралық сандар теориясы екі бағытқа ажыратылды: оның алғаш қысында нақты сандарды зерттеп, олардың трансценденттілігін дәлелдесе, екіншісінде алгебралық сандардың рационал сандарға жуықтау дәрежесі зерттелді. 1873 жылы француз математигі Шарль Эрмит (1822 — 1901) е санының трансценденттілігін, ал 1882 жылы неміс математигі Карл Линдеман (1852 — 1939) p санының трансцендент сан екенін дәлелдеген. 1919 жылы норвег математигі Вигго Брун (1885 — 1978) жай сандар тізбегіндегі тетелес (егіз) сандарға арналған теореманы дәлелдеп әлгіндей сандардың шексіз болатынын ашқан.